Teorema fundamental del calculo integral

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

Enunciado de los teoremas

• Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\,dx.}$

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

• Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

• Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$