Teorema fundamental del calculo integral

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

Enunciado de los teoremas

• Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\,dx.}$

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

• Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

• Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Integrales

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

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Historia matemáticas

Las matemáticas elementales formaban parte del sistema de educación desde las civilizaciones antiguas, incluyendo la antigua Grecia, el imperio Romano, la sociedad védica y el antiguo Egipto. En la mayoría de los casos, una educación formal sólo estaba disponible para los varones con el nivel social alto ya sea por la riqueza o por la casta.

En la división de las artes liberales, en el trivium y el quadrivium de Platón, el quadrivium incluye los campos de matemáticas de la aritmética y la geometría. Esta estructura continuó en la educación clásica que se desarrolló en la Europa medieval. La enseñanza de la geometría se basa en Los Elementos de Euclides. Los aprendices a oficios como albañiles, comerciantes y prestamistas podrían esperar aprender matemáticas ya que era relevante para su profesión.

Hay muchas escrituras diferentes sobre las matemáticas y la metodología de las matemáticas que se remontan a 1800 aC. Estos se encuentran principalmente en Mesopotamia, donde los sumerios practicaban la multiplicación y la división. También hay artefactos que demuestran su propia metodología para resolver ecuaciones como la ecuación de segundo grado. Después de los sumerios algunas de las más famosas obras antiguas en matemáticas vienen de Egipto, en la forma del papiro matemático de Rhind y el papiro matemático de Moscú. El más famoso, el papiro de Rhind, ha sido datado aproximadamente en 1650 a.C., pero se cree que es una copia de un desplazamiento aún mayor. Este papiro era esencialmente un libro de texto de los estudiantes egipcios.

En el Renacimiento, el estudio académico de las matemáticas se negó ya que está fuertemente asociado con el comercio. A pesar de que continuó siendo enseñado en las universidades europeas, fue visto como subordinado al estudio de la filosofía natural, metafísica y moral.

Esta tendencia se invirtió en el siglo XVII, con la Universidad de Aberdeen creación de una Cátedra de Matemáticas en 1613, seguido por la Cátedra de la Geometría que se creó en la Universidad de Oxford en 1619 y la Cátedra Lucasiana de Matemáticas establecida por la Universidad de Cambridge en 1662. Sin embargo, en este tiempo es raro ver que las matemáticas fuera de las universidades. Isaac Newton, por ejemplo, no recibió ninguna enseñanza de la matemática formal hasta que se unió a Trinity College de Cambridge en 1661.

En los siglos XVIII y XIX, la revolución industrial dio lugar a un enorme aumento de las poblaciones urbanas. Habilidades numéricas básicas, tales como la capacidad de decir la hora, contar dinero y realizar operaciones aritméticas simples, se convirtió en esencial en este nuevo estilo de vida urbano. Dentro de los nuevos sistemas de educación pública, las matemáticas se convirtieron en una parte central del plan de estudios desde una edad temprana.

En el siglo XX, las matemáticas eran parte del plan de estudios en todos los países desarrollados. La educación matemática se estableció como un campo independiente de investigación. Estos son algunos de los principales acontecimientos de este desarrollo:

En 1893, la Cátedra de la educación matemática se creó en la Universidad de Göttingen, bajo la administración de Felix Klein.

La Comisión Internacional de Instrucción Matemática (ICMI) fue fundada en 1908, y Félix Klein se convirtió en el primer presidente de la organización.

Un nuevo interés en la enseñanza de las matemáticas surgió en la década de 1960, y la comisión se revitalizó.

En 1968, se creó el Centro de Shell para la Educación Matemática en Nottingham.

El primer Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) se celebró en Lyon en 1969. El segundo congreso fue en Exeter en 1972, y después de que se ha celebrado cada cuatro años.

En el siglo XX, el impacto cultural de la era eléctrica también fue considerado por la teoría educativa y la enseñanza de las matemáticas. Mientras las prácticas anteriores se enfocaban en el trabajo con problemas especializados en aritmética, las estructuras emergentes se basaban en la meditación de la teoría de números y la teoría de conjuntos

Limites

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Vectores ¿útiles?

He oído a muchos de mis compañeros hacer preguntas sobre matemáticas del estilo de: "¿para que nos va a servir esto en la vida real? Bueno la respuesta no es muy simple ya que depende de lo que cada uno quiera hacer con su vida, por ejemplo un arquitecto va a necesitar entender y comprender lo que es un vector, una recta, un plano, etc. para poder hacer su trabajo, sin embargo un médico no lo va a necesitar.

Digo todo esto para poder llegar a la conclusión de que, al no saber exactamente lo que cada uno va a hacer con su vida, debemos de ofrecer una educación genérica para que podamos decidir que vamos a hacer y que no.

Dejo por aquí una breve descripción de lo que es un vector, para el que no lo sepa: https://es.wikipedia.org/wiki/Vector 

Las matrices y los determinantes

Matematicas no es mi materia favorita pero he de decir que las matrices y los determinantes son bastente divertidos de resolver, ya que tienen un metodo bastante entretenido de resolver.

En una pagina web llamada vitutor se explican muy bien todos los procedimientos y la teoria de estas mismas.

Todos en clase parecen entender los procedimientos para resolverlas lo cual me hace bastante feliz porque el año pasado nadie entendia nada y me frustaba mucho.